geometria-3d.pl
Zadania Katalog Programy Artykuły Teoria
Zadanie nr 58. Dodane przez Adam. 2012-12-06 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Oblicz kąty trójkąta ABC w którym a=2\sqrt{3},b=3-\sqrt{3},c=3\sqrt{2}

Rozwiązanie nr 59. Dodane przez Maciek. 2012-12-06

Do rozwiązania zadnia skorzystamy z wzorów cosinusów dla trójkąta.

a^2=b^2+c^2-2bc \cdot \cos\alpha

b^2=a^2+c^2-2ac \cdot \cos \beta

c^2=a^2+b^2-2ab \cdot \cos \gamma

Po przekształceniu wzorów otrzymujemy:

-2bc \cdot \cos \alpha=a^2-b^2-c^2

cos\alpha=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}

Odpowiednio obliczamy:

cos\beta=\frac{-b^2+a^2+c^2}{2ac}

cos\gamma=\frac{-c^2+a^2+b^2}{2ab}

Podstawiamy długości boków do wzorów:

cos\alpha=\frac{(3-\sqrt{3})^2+18-12}{6\sqrt{2}\cdot (3-\sqrt{3})}=\frac{18-6\sqrt{3}}{\sqrt{2}(18-6\sqrt{3})}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

czyli \alpha=45^o

cos\beta=\frac{12+18-(3-\sqrt{3})^2}{2\cdot2\sqrt{3}\cdot3\sqrt{2}}=\frac{30-9+6\sqrt{3}-3}{12\sqrt{6}}=\frac{18+6\sqrt{3}}{12\sqrt{6}}=\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}

czyli \beta=15^o

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie wynosi 180, wnioskujemy, że \gamma=120^o