geometria-3d.pl
Zadania Katalog Programy Artykuły Teoria
Zadanie nr 52. Dodane przez Adam. 2012-11-18 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Punkty A(1,-3), B(2,5), C(-2,-6) są wierzchołkami trójkąta

a) wyznacz długości jego boków

b) wyznacz długości jego środkowych

Rozwiązanie nr 53. Dodane przez Maciek. 2012-11-18

a)

|AB|=\sqrt{(2-1)^2+(5-(-3))^2}

|AB|=\sqrt{65}

|BC|=\sqrt{(-2-2)^2+(-6-5)^2}

|BC|=\sqrt{137}

|AC|=\sqrt{(-2-1)^2+(-6-(-3))^2}

|AC|=3\sqrt{2}

b)

Środkowa trójkąta to odcinek który łczy środek boku trójkąta z przeciwległym wierzchołkiem.

Czyli musimy wyznaczyć środki boków trójkąta ABC.

Niech punkt A_1 będzie środkiem odcinka |BC|.

Gdzie B(x_1,y_1) a C(x_2,y_2). Korzystamy z wzoru.

A_1=\left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right),

Czyli:

A_1\left(\frac{2-2}{2} , \frac{5-6}{2}\right)

A_1=\left( 0, -\frac{1}{2} \right)

Podobnie obliczamy współrzędne B_1 i C_1

B_1\left(-\frac{1}{2} , -4\frac{1}{2} \right)

C_1\left( 1\frac{1}{2} , 1\right)

Teraz możemy policzyć długości środkowych:

|AA_1|=\sqrt{(0-1)^2+(-\frac{1}{2}+3)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{29}

|BB_1|=\sqrt{(-\frac{1}{2}-\frac{4}{2})^2+(-\frac{8}{2}-\frac{10}{2})^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{324}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{349}

|CC_1|=\sqrt{(\frac{3}{2}-(-2))^2+(1-(-6))^2}=\sqrt{\frac{49}{4}+49}=\frac{1}{2}\sqrt{245}