geometria-3d.pl
Zadania Katalog Programy Artykuły Teoria
Zadanie nr 32. Dodane przez Lucyna. 2012-09-20 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

W kulę o promieniu 3 wpisano stożek o największej objętości. Znajdź tą objętość.

Zadanie nr 30. Dodane przez Ania. 2012-09-20 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Ile wynosi pole powierzchni graniastosłupa o wysokości 200 cm, jeżeli jego podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych mających długości 30 cm i 40 cm?

Rozwiązanie nr 31. Dodane przez Maciej. 2012-09-20

przeciwprostokątna (w trójkącie, który jest podstawą) wynosi:

\sqrt{30^2+40^2}=50 - z tw. Pitagorasa.
pole podstawy wynosi zatem:

P_p=\frac{1}{2}a \cdot h
- trójkąt jest równoboczny więc wysokość jest jednym z boków.

P_p=\frac{1}{2}\cdot 30 \cdot 40=600 cm ^2
pole powierzchni graniastosłupa:

P_g=2P_p+P_{bocz}
Pole powierzchni graniastosłupa to dwa pola podstawy plus pole powierzchni bocznej.

Pole podstawy mamy polczone a powierzchnia boczna to trzy prostokątny o jednym boku równym wysokości graniastosłupa 200 cm a drugim bedącym jedna z krawędzi podstawy.

P=2\cdot 600 + 200\cdot 30+200\cdot 40+200 \cdot 50=1200+6000+8000+10000=25200 cm^2

Zadanie nr 28. Dodane przez Marek. 2012-09-09 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym przekątna ściany bocznej ma długość 4 cm i tworzy z krawędzią podstawy kąt 60 stopni. oblicz objętość i pole powierzchni graniastosłupa.

Rozwiązanie nr 29. Dodane przez Igor. 2012-09-09

Graniastosłup prawidłowy trójkątny to jest taki filar co ma trójkąt w podstawie
jeżeli przekątna ściany bocznej ma długość=4 i kąt z krawędzią podstawy = 60 stopni to można obliczyć wysokość graniastosłupa.


Zatem H=4\cdot sin 60^o czyli H=\frac{4}{3}\sqrt{3}


A dłuogość krawędzi podstawy wynosia=4\cdot cos 60^o czyli a=2 

zatem V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot  H = 4
P_p=3\cdot a \cdot H + 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}



Zadanie nr 27. Dodane przez Magdalena. 2012-09-02 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

W prostopadłościanie przekątna ściany bocznej mająca długość 8cm jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 45 stopni, natomiast przekątna prostopadłościanu tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 30 stopni. Oblicz objętość prostopadłościanu.

Zadanie nr 26. Dodane przez Maciek. 2012-09-02 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Cztery jednakowe graniastosłupy prawidłowe czworokątne ustawiono obok siebie. Przekątna każdego z nich ma długość 2 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Oblicz długość przekątnej utworzonego w ten sposób prostopadłościanu. Czy kąt nachylenia tej przekątnej do podstawy ma też miarę 60 stopni?

Zadanie nr 24. Dodane przez Ania. 2012-09-02 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Ile wynosi objętość graniastosłupa o wysokości 400 cm, jeżeli jego podstawa jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych mających długości 50 cm i 60 cm?

Rozwiązanie nr 25. Dodane przez Uczniowie klasy IIIa LZ. 2012-09-02

V=P_p\cdot H


Podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości  50cm i 60cm, wiec

P_p=\frac{1}{2}\cdot 50 \cdot 60 =1500 cm^2

Ostatecznie

V=1500 \cdot 400=600000 cm^3=0,6 m^3

Zadanie nr 23. Dodane przez Magdalena. 2012-09-02 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Podstawą równoległościanu prostego jest romb o kącie ostrym \alpha.
Dłuższa przekątna równoległościanu o długości d tworzy ze scianą boczną kąt \beta.
Wyznacz objętość równoległościanu

Zadanie nr 22. Dodane przez Magdalena. 2012-09-02 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Podstawą równoległościanu jest kwadrat o boku długości a.
Odległość jednego z wierzchołków jego podstawy od wszystkich wierzchołków dolnej podstawy są równe b.
Oblicz pole powierzchni całkowitej równoległościanu.

Zadanie nr 20. Dodane przez Karolina. 2012-09-02 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Ile kartonu potrzeba na wykonanie prostopadłościennego pudełka bez pokrywki, mającego wymiary:4,5cm,10cm,18cm, jeżeli na spojenie trzeba doliczyć 10% powierzchni bocznej pudełka.

Rozwiązanie nr 21. Dodane przez Tomek. 2012-09-02

Pudełko nie ma mieć pokrywki, a więc pole powierzchni bocznej liczymy w następujący sposób:

P_b=ab+2bc+2ac

a=4,5 cm, b=10cm, c=18 cm

P_b=4,5 \cdot 10+2 \cdot 10 \cdot 18 + 2\cdot 4,5 \cdot 18=45+360+162

P_b=567cm^2

Na spojenie trzeba doliczyć 10% powierzchni bocznej pudełka, a więc

P_c=567+(\frac{10}{100} \cdot 567=567+56,7=623,7cm^2

Zadanie nr 18. Dodane przez Magadalena. 2012-07-27 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt utworzony przez krawędź boczną i krawędź podstawy jest równa \alpha. Promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa wynosi R. Oblicz objętość ostrosłupa.

Rozwiązanie nr 19. Dodane przez Klasa IIIa LZ. 2012-07-27

 

Dane:
\alpha - miara kąta nachylenia krawędzi bocznej do krawędzi podstawy
R - promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa


Szukane:

V_s - objętość strosłupa

(1) V_s=\frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H (P_p - pole podstawy, H - wysokość)

(2) P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} (a - krawędź podstawy)


Z (1) i (2) wynika, że

(3) V_s=\frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H

czyli V_s=\frac{a^2 \cdot H \sqrt{3}}{12}

Ponieważ podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny, więc

R=\frac{2}{3}h (h - wysokość trójkąta równobocznego) , ale

h=\frac{a\sqrt{3}}{2}, więc

R=\frac{a\sqrt{3}}{3},czyli

(4) a=\sqrt{3}R

Weźmy pod uwagę trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne to \frac{1}{2}a i wysokość ściany bocznej d, a przeciwprostokątna to krawędź boczna b.

kąt \alpha w tym trójkącie to kąt między \frac{1}{2} a oraz b. Czyli

cos \alpha=\frac{\frac{1}{2}a}{b}

korzystając z (4) otrzymamy:

(5) b=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}R}{cos \alpha}

Weźmy pod uwagę trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne to R i wysokość ostrosłupa H, a przeciwprostokątna to krawędź boczna b.

Z tw. Pitagorasa

b^2=R^2+H^2

Czyli po podsatwieniu za b (5)

(6)H=\sqrt{\frac{\frac{3}{4}R^2}{(cos\alpha)^2-R^2}}

Z (3) (4) i (6) wynika, że

V_s=\frac{R^2\sqrt{3} \sqrt{\frac{\frac{3}{4}R^2}{(cos\alpha)^2-R^2}}}{4}

Wybierz stronę: « < 1 - 2 - 3 - 4 > »