geometria-3d.pl
Zadania Katalog Programy Artykuły Teoria
Zadanie nr 46. Dodane przez Mad. 2012-10-29 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

W trójkącie ABC mamy dane:
kąt B=60 stopni
kąt C=75 stopni

Oblicz stosunek boków AC i AB.

Rozwiązanie nr 47. Dodane przez Tyt. 2012-10-29

Korzystamy z faktu, że suma kątów wewnetrznych trójkata jest równa 180o.

\angle A + \angle B + \angle C=180^o

\angle A=180^o-75^o - 60 ^o

\angle A=45^o

Rozwązmy trójkąt prostokatny ADC.

cos(\angle A)=\frac{|AD|}{|AC|}

czyli:

\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|AD|}{|AC|}

Korzystamy z faktu, że |AB|=|AD|+|DB|, czyli |AD|=|AB|-|DB|

\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|AB|-|DB|}{|AC|}

korzystamy z faktu, że tg(\angle B)=\frac{|CD|}{|DB|}, czyli \sqrt{3}=\frac{|CD|}{|DB|}, |DB|=\frac{|CD|}{\sqrt{3}}

\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|AB|-\frac{|CD|}{\sqrt{3}}}{|AC|}

następnie korzystamy z sinusa kąta A: sin(\angle A)=\frac{|CD|}{|AC|}, czyli \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|CD|}{|AC|}, |CD|=\frac{\sqrt{2}}{2}|AC|

czyli ostatecznie  otrzymujemy

\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|AB|-\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}|AC|}{\sqrt{3}}}{|AC|}

\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|AB|}{|AC|}-\frac{\sqrt{6}}{6}

\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{6}

\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6}

\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{6}{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}

\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}

Zadanie nr 44. Dodane przez Karolina. 2012-10-29 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Ile blachy potrzeba na wykonanie prostopadłościennego pudełka z pokrywką, mającego wymiary: 6cm, 10cm i 14,5cm, jeżeli na spojenie trzeba doliczyć 10% powierzchni pudełka.

Rozwiązanie nr 45. Dodane przez Tomek. 2012-10-29

Zadanie sprowadza się do obliczenia powierzchni bocznej prostopadłościanu.

P_b=2ab+2bc+2ac

a=6 cm, b=10 cm, c=14,5 cm

P_b=2\cdot 6 \cdot 10 + 2 \cdot 10 \cdot 14,5 + 2 \cdot 6 \cdot 14,5

P_b=120+290+174

P_b=584 cm^2

Na spojenie należy doliczyć 10% powierzchni, a więc

P_c=584+(\frac{10}{100})\cdot 584=584+58,4=642,4 cm^2

Zadanie nr 43. Dodane przez Magdalena. 2012-10-28 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym odległość środka jego wysokości od krawędzi i od ściany bocznej wynoszą odpowiednio a i b.Wyznacz objętość ostrosłupa.

Zadanie nr 41. Dodane przez Magdalena. 2012-10-28 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt utworzony przez krawędź boczną i krawędź podstawy jest równa \alpha. Promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa wynosi R. Oblicz objętość ostrosłupa.

Rozwiązanie nr 42. Dodane przez Uczniowie klasy III a LZ. 2012-10-28

Dane:

\alpha - miara kąta nachylenia krawędzi bocznej do krawędzi podstawy,

R - promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa


Szukane:

V- objętość ostrosłupa

(1) V=\frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H

gdzie: P_p - pole podstawy, H - wysokość ostrosłupa


(2) P_p=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}

gdzie: a - krawędź podstawy

Z (1) i (2) wynika, że

(3) V=\frac{a^2\sqrt{3}\cdot H}{12}

(a=?, H=?)

Ponieważ podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny więc

R=\frac{2}{3}\cdot h
(h - wysokość trójkąta równobocznego), ale

h=\frac{a\sqrt{3}}{2}, więc
R=\frac{a\sqrt{3}}{3}
3R=a\sqrt{3}
a=\frac{3R}{\sqrt{3}}
a=\sqrt{3}R

Weźmy pod uwagę trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne to \frac{1}{2}a i wysokość ściany bocznej d, a przeciwprostokątna to krawędź boczna b.
\alpha w tym trójkącie to kąt miedzy \frac{1}{2}a oraz b.
Skorzystamy z funkcji cosinus kąta ostrego \alpha.

cos\alpha=\frac{\frac{1}{2}}{b}

Zatem b=\frac{\frac{1}{2}a}{cos\alpha}, ale a=\sqrt{3R}, więc

b=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3R}}{cos \alpha}

Weźmy pod uwagę trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne to R i wysokość ostrosłupa H, a przeciprostokątna to krawędź boczna b.
Z tw. Pitagorasa

b^2=R^2+H^2
Czyli

\left(\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3R}}{cos\alpha}\right)^2=R^2+H^2
H^2=\frac{\frac{3}{4}R^2}{(cos\alpha)^2}-R^2

H=\sqrt{\frac{\frac{3}{4}R^2}{(cos\alpha)^2}-R^2}(5)
Z (3) (4) i (5) wynika, że

V=\frac{R^2 \sqrt{3} \sqrt{\frac{\frac{3}{4}R^2}{(cos\alpha)^2}-R^2}}{4}

Zadanie nr 40. Dodane przez Magdalena. 2012-10-17 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

W prawidłowym ostrosłupie trójkątnym płaszczyzna,zawierająca jedną z krawędzi podstawy i prostopadła do przeciwległej krawędzi bocznej,dzieli ostrosłup na dwa wielościany, których objętości są do siebie w stosunku 2:3. Wyznacz cosinus kąta płaskiego przy wierzchołku ostrosłupa.

Zadanie nr 38. Dodane przez Marek. 2012-10-17 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Kula o promieniu 5 cm. i stożek o promieniu podstawy 10cm maja równe objętości.
Oblicz wysokość stożka.

Rozwiązanie nr 39. Dodane przez Klasa IIIa LZ. 2012-10-17

Obliczam objętość kuli o promieniu R=5

V_k=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot R^3

gdzie V_k - objętość kuli

V_k=\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 5^3

V_k=\frac{4}{3}\cdot 125 \pi


V_k=\frac{500}{3} \pi

Wiemy, że:

V_k=V_s

gdzie: V_s - objętość stożka

Zatem:

V_s=\frac{500}{3}\pi
ale

V_s=\frac{1}{3}\pi r^2H
gdzie: r - promień podstawy stożka, H - wysokość stożka

Zatem

\frac{500}{3} \pi=\frac{1}{3} \pi r^2 H
promień podstawy stożka wynosi 10 więc

\frac{500}{3} \pi =\frac{1}{3} \pi \cdot 10^2 \cdot H

Po podzieleniu obustronnie przez Pi i pomnożeniu przez 3 otrzymujemy

500=100 \cdot H

H=5 [cm]

Zadanie nr 37. Dodane przez Mariusz. 2012-10-07 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Na kuli opisano stożek. Stosunek pola podstawy stożka do pola powierzchni kuli wynosi 3/4. Oblicz:
a) miarę kąta przy wierzchołku przekroju osiowego stożka
b) stosunek objjętości kuli do objjętości stożka
c) stosunek powierzchni całkowitej stożka do pola powierzchni kuli

Zadanie nr 35. Dodane przez Marek. 2012-10-07 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku równym 6 cm.
Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość stożka.

Rozwiązanie nr 36. Dodane przez Adrian. 2012-10-07

Latwo można sobie z tego policzyć wysokość trójkąta będącego przekrojem osiowym, która jest też
wysokością stożka czyli:

h=\sqrt{6^2-3^2} - korszystamy z tw. Pitagorasa i faktu że wysokość dzieli podstawę na pół.

h=\sqrt{27}

h=3\sqrt{3}

promień stożka jest połową długości boku tego trójkąta czyli r = 3.

Objętość:

V=\frac{1}{3} \pi r^2 h

czyli:

V=\frac{1}{3}\pi \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3}

V=3\sqrt{3} \pi,

Pole powierzchni bocznej:

P_b=\pi r l

P_b=9\pi

Zadanie nr 34. Dodane przez Lucyna. 2012-10-07 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

W stożek kołowy prosty, którego przekrojem osiowym jest trójkąt równoboczny, wpisano walec o największej objętości. Obliczyć stosunek wysokości tego walca do długości promienia tego stożka

Zadanie nr 33. Dodane przez Lucyna. 2012-10-07 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Który ze stożków o danej tworzącej długości 10 cm ma największą objętość?

Wybierz stronę: « < 1 - 2 - 3 - 4 > »