geometria-3d.pl
Zadania Katalog Programy Artykuły Teoria
Zadanie nr 75. Dodane przez Filip. 2012-12-15 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Boki równoległoboku mają długości 5cm i 6cm zaś jego kąt ostry ma miarę 60o. Oblicz długość dłuższej przekątnej.

Rozwiązanie nr 76. Dodane przez Maciek. 2012-12-15

Dane: a=6,b=5, \alpha=\angle BAD, \beta=\angle ABC

Niech \alpha, \beta będą kątami równloegłoboku, wtedy:

2\alpha+2\beta=360^o

\alpha+\beta=180^o

\beta=180^o-\alpha

Wiemy, że \alpha=60^o, więc

\beta=120^o

Korzystamy z wzorów cosinusów.

d^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\beta

d=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cdot cos\beta}

Podstawiamy do wzoru dane długości boków oraz miarę kąta:

d=\sqrt{6^2+5^2-2\cdot6\cdot5\cdot cos 120^o}

d=\sqrt{36+25+60\cdot\frac{1}{2}}

d=\sqrt{91}

Zadanie nr 58. Dodane przez Adam. 2012-12-06 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Oblicz kąty trójkąta ABC w którym a=2\sqrt{3},b=3-\sqrt{3},c=3\sqrt{2}

Rozwiązanie nr 59. Dodane przez Maciek. 2012-12-06

Do rozwiązania zadnia skorzystamy z wzorów cosinusów dla trójkąta.

a^2=b^2+c^2-2bc \cdot \cos\alpha

b^2=a^2+c^2-2ac \cdot \cos \beta

c^2=a^2+b^2-2ab \cdot \cos \gamma

Po przekształceniu wzorów otrzymujemy:

-2bc \cdot \cos \alpha=a^2-b^2-c^2

cos\alpha=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}

Odpowiednio obliczamy:

cos\beta=\frac{-b^2+a^2+c^2}{2ac}

cos\gamma=\frac{-c^2+a^2+b^2}{2ab}

Podstawiamy długości boków do wzorów:

cos\alpha=\frac{(3-\sqrt{3})^2+18-12}{6\sqrt{2}\cdot (3-\sqrt{3})}=\frac{18-6\sqrt{3}}{\sqrt{2}(18-6\sqrt{3})}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

czyli \alpha=45^o

cos\beta=\frac{12+18-(3-\sqrt{3})^2}{2\cdot2\sqrt{3}\cdot3\sqrt{2}}=\frac{30-9+6\sqrt{3}-3}{12\sqrt{6}}=\frac{18+6\sqrt{3}}{12\sqrt{6}}=\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}

czyli \beta=15^o

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie wynosi 180, wnioskujemy, że \gamma=120^o

Zadanie nr 56. Dodane przez Jacek. 2012-11-25 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Pole trapezu jest równe 240 cm2, a jego wysokość wynosi 16 cm. Oblicz długości podstaw trapezu, wiedząc, że ich stosuneik wynosi 2 do 3

Rozwiązanie nr 57. Dodane przez Maciek. 2012-11-25

Dane:

P=240 cm^2

h=16 cm

\frac{a}{b}=\frac{2}{3}

Korzystamy z wzoru na pole trapezu:

\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{2}(a+b)\cdot 16=240 \\
\frac{a}{b}=\frac{2}{3}
\end{array}

\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{2}(\frac{2}{3}b+b)\cdot 16=240 \\
a=\frac{2}{3}b
\end{array}

\left\{ \begin{array}{l}
\frac{5}{6}b=15 \\
a=\frac{2}{3}b
\end{array}

\left\{ \begin{array}{l}
b=18 \\
a=12
\end{array}

Zadanie nr 54. Dodane przez Piotrek. 2012-11-19 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Pole równoległoboku wynosi 24cm2 a jego obwód 28 cm. Jedna z wysokości ma 3 cm. Oblicz drugą wysokość.

Rozwiązanie nr 55. Dodane przez Maciek. 2012-11-19

Wzory:

Pole równoległoboku:

P_r=a\cdot h_1=b\cdot h_2

Obwód:

Obw=2a+2b

Dane:

P_r=24cm^2

Obw=28cm

h_1=3cm

Korzystamy z wzorów na pole i obwód równoległoboku.

\left\{ \begin{array}{l}
2a+2b=28 \\
a\cdot 3=24
\end{array}

\left\{ \begin{array}{l}
a=8 \\
b=6
\end{array}

h_2\cdot b=24

h_2=4 cm

Zadanie nr 48. Dodane przez Mariusz. 2012-10-30 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

W trójkącie ABC wysokość poprowadzona z wierzchołka C dzieli bok AB na odcinki o długościach 6 cm i 15 cm.
a) znaleźć długości boków AC i BC trójkąta, jeżeli ich różnica jest równa k (k>0). Zbadać dla jakich wartości k rozwiązanie jest możliwe.
b) znaleźć długość dwusiecznej kąta wewnętrznego C zawartej w trójkącie ABC

Zadanie nr 46. Dodane przez Mad. 2012-10-29 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

W trójkącie ABC mamy dane:
kąt B=60 stopni
kąt C=75 stopni

Oblicz stosunek boków AC i AB.

Rozwiązanie nr 47. Dodane przez Tyt. 2012-10-29

Korzystamy z faktu, że suma kątów wewnetrznych trójkata jest równa 180o.

\angle A + \angle B + \angle C=180^o

\angle A=180^o-75^o - 60 ^o

\angle A=45^o

Rozwązmy trójkąt prostokatny ADC.

cos(\angle A)=\frac{|AD|}{|AC|}

czyli:

\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|AD|}{|AC|}

Korzystamy z faktu, że |AB|=|AD|+|DB|, czyli |AD|=|AB|-|DB|

\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|AB|-|DB|}{|AC|}

korzystamy z faktu, że tg(\angle B)=\frac{|CD|}{|DB|}, czyli \sqrt{3}=\frac{|CD|}{|DB|}, |DB|=\frac{|CD|}{\sqrt{3}}

\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|AB|-\frac{|CD|}{\sqrt{3}}}{|AC|}

następnie korzystamy z sinusa kąta A: sin(\angle A)=\frac{|CD|}{|AC|}, czyli \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|CD|}{|AC|}, |CD|=\frac{\sqrt{2}}{2}|AC|

czyli ostatecznie  otrzymujemy

\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|AB|-\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}|AC|}{\sqrt{3}}}{|AC|}

\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|AB|}{|AC|}-\frac{\sqrt{6}}{6}

\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{6}

\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6}

\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{6}{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}

\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}