geometria-3d.pl
Zadania Katalog Programy Artykuły Teoria
Zadanie nr 62. Dodane przez Matura 2012. 2012-12-10 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH przekątna AC podstawy ma długość 4. Kąt ACE jest równy 60o. Oblicz objętość ostrosłupa ABCDE przedstawionego na poniższym rysunku.

Rozwiązanie nr 63. Dodane przez Maciek. 2012-12-10

Rozważając trójkąt ACE i korzystając z tangensa kąta ACE obliczymy długość odcinka AE czyli wysokość ostrosłupa ABCDE.

tg\angle ACE=\frac{|AE|}{|AC|}

tg 60^o=\frac{|AE|}{4}

\sqrt{3}=\frac{|AE|}{4}

|AE|=4\sqrt{3}

Graniastosłup ABCDEFGH jest prawidłowy więc czworokąt ABCD jest kwadratem. Zatem.

|AB|=|BC|

Z twierdzenia Pitagorasa:

|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2

|AB|^2+|AB|^2=4^2

2|AB|^2=4^2

|AB|^2=8

|AB|=2\sqrt{2}

Objętość ostrosłupa obliczmy wg wzoru.

V=\frac{1}{3}P_p\cdot |AE|

V=\frac{1}{3}(2\sqrt{2})^2\cdot 4\sqrt{3}

V=\frac{1}{3}8\cdot 4\sqrt{3}

V=\frac{1}{3}32\sqrt{3}

Zadanie nr 43. Dodane przez Magdalena. 2012-10-28 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym odległość środka jego wysokości od krawędzi i od ściany bocznej wynoszą odpowiednio a i b.Wyznacz objętość ostrosłupa.

Zadanie nr 41. Dodane przez Magdalena. 2012-10-28 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt utworzony przez krawędź boczną i krawędź podstawy jest równa \alpha. Promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa wynosi R. Oblicz objętość ostrosłupa.

Rozwiązanie nr 42. Dodane przez Uczniowie klasy III a LZ. 2012-10-28

Dane:

\alpha - miara kąta nachylenia krawędzi bocznej do krawędzi podstawy,

R - promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa


Szukane:

V- objętość ostrosłupa

(1) V=\frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H

gdzie: P_p - pole podstawy, H - wysokość ostrosłupa


(2) P_p=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}

gdzie: a - krawędź podstawy

Z (1) i (2) wynika, że

(3) V=\frac{a^2\sqrt{3}\cdot H}{12}

(a=?, H=?)

Ponieważ podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny więc

R=\frac{2}{3}\cdot h
(h - wysokość trójkąta równobocznego), ale

h=\frac{a\sqrt{3}}{2}, więc
R=\frac{a\sqrt{3}}{3}
3R=a\sqrt{3}
a=\frac{3R}{\sqrt{3}}
a=\sqrt{3}R

Weźmy pod uwagę trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne to \frac{1}{2}a i wysokość ściany bocznej d, a przeciwprostokątna to krawędź boczna b.
\alpha w tym trójkącie to kąt miedzy \frac{1}{2}a oraz b.
Skorzystamy z funkcji cosinus kąta ostrego \alpha.

cos\alpha=\frac{\frac{1}{2}}{b}

Zatem b=\frac{\frac{1}{2}a}{cos\alpha}, ale a=\sqrt{3R}, więc

b=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3R}}{cos \alpha}

Weźmy pod uwagę trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne to R i wysokość ostrosłupa H, a przeciprostokątna to krawędź boczna b.
Z tw. Pitagorasa

b^2=R^2+H^2
Czyli

\left(\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3R}}{cos\alpha}\right)^2=R^2+H^2
H^2=\frac{\frac{3}{4}R^2}{(cos\alpha)^2}-R^2

H=\sqrt{\frac{\frac{3}{4}R^2}{(cos\alpha)^2}-R^2}(5)
Z (3) (4) i (5) wynika, że

V=\frac{R^2 \sqrt{3} \sqrt{\frac{\frac{3}{4}R^2}{(cos\alpha)^2}-R^2}}{4}

Zadanie nr 40. Dodane przez Magdalena. 2012-10-17 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

W prawidłowym ostrosłupie trójkątnym płaszczyzna,zawierająca jedną z krawędzi podstawy i prostopadła do przeciwległej krawędzi bocznej,dzieli ostrosłup na dwa wielościany, których objętości są do siebie w stosunku 2:3. Wyznacz cosinus kąta płaskiego przy wierzchołku ostrosłupa.

Zadanie nr 18. Dodane przez Magadalena. 2012-07-27 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt utworzony przez krawędź boczną i krawędź podstawy jest równa \alpha. Promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa wynosi R. Oblicz objętość ostrosłupa.

Rozwiązanie nr 19. Dodane przez Klasa IIIa LZ. 2012-07-27

 

Dane:
\alpha - miara kąta nachylenia krawędzi bocznej do krawędzi podstawy
R - promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa


Szukane:

V_s - objętość strosłupa

(1) V_s=\frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H (P_p - pole podstawy, H - wysokość)

(2) P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} (a - krawędź podstawy)


Z (1) i (2) wynika, że

(3) V_s=\frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H

czyli V_s=\frac{a^2 \cdot H \sqrt{3}}{12}

Ponieważ podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny, więc

R=\frac{2}{3}h (h - wysokość trójkąta równobocznego) , ale

h=\frac{a\sqrt{3}}{2}, więc

R=\frac{a\sqrt{3}}{3},czyli

(4) a=\sqrt{3}R

Weźmy pod uwagę trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne to \frac{1}{2}a i wysokość ściany bocznej d, a przeciwprostokątna to krawędź boczna b.

kąt \alpha w tym trójkącie to kąt między \frac{1}{2} a oraz b. Czyli

cos \alpha=\frac{\frac{1}{2}a}{b}

korzystając z (4) otrzymamy:

(5) b=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}R}{cos \alpha}

Weźmy pod uwagę trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne to R i wysokość ostrosłupa H, a przeciwprostokątna to krawędź boczna b.

Z tw. Pitagorasa

b^2=R^2+H^2

Czyli po podsatwieniu za b (5)

(6)H=\sqrt{\frac{\frac{3}{4}R^2}{(cos\alpha)^2-R^2}}

Z (3) (4) i (6) wynika, że

V_s=\frac{R^2\sqrt{3} \sqrt{\frac{\frac{3}{4}R^2}{(cos\alpha)^2-R^2}}}{4}