geometria-3d.pl
Zadania Katalog Programy Artykuły Teoria
Zadanie nr 80. Dodane przez Filip. 2012-12-29 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Punkty A(1;1) B(2;2) C(3;-1) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku. Wyznacz współrzędne wierzchołka D.

Rozwiązanie nr 81. Dodane przez Maciek. 2012-12-29

Korzystamy z faktu, że wektory równoległe i równe mają takie same współrzędne.

Z treści zadania wynika, że AB \parallel DC oraz |AB|=|DC|.

Szukamy współrzędnych punktu D(x,y)

\overline{AB}=[2-1;2-1]

\overline{AB}=[1;1]

\overline{DC}=[3-x;-1-y]

czyli:

\left\{ \begin{array}{l}
3-x=1 \\
-1-y=1 \\
\end{array} \right.

\left\{ \begin{array}{l}
x=2 \\
y=-2 \\
\end{array} \right.

czyli:

D(2,-2)

Zadanie nr 75. Dodane przez Filip. 2012-12-15 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Boki równoległoboku mają długości 5cm i 6cm zaś jego kąt ostry ma miarę 60o. Oblicz długość dłuższej przekątnej.

Rozwiązanie nr 76. Dodane przez Maciek. 2012-12-15

Dane: a=6,b=5, \alpha=\angle BAD, \beta=\angle ABC

Niech \alpha, \beta będą kątami równloegłoboku, wtedy:

2\alpha+2\beta=360^o

\alpha+\beta=180^o

\beta=180^o-\alpha

Wiemy, że \alpha=60^o, więc

\beta=120^o

Korzystamy z wzorów cosinusów.

d^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\beta

d=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cdot cos\beta}

Podstawiamy do wzoru dane długości boków oraz miarę kąta:

d=\sqrt{6^2+5^2-2\cdot6\cdot5\cdot cos 120^o}

d=\sqrt{36+25+60\cdot\frac{1}{2}}

d=\sqrt{91}

Zadanie nr 62. Dodane przez Matura 2012. 2012-12-10 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH przekątna AC podstawy ma długość 4. Kąt ACE jest równy 60o. Oblicz objętość ostrosłupa ABCDE przedstawionego na poniższym rysunku.

Rozwiązanie nr 63. Dodane przez Maciek. 2012-12-10

Rozważając trójkąt ACE i korzystając z tangensa kąta ACE obliczymy długość odcinka AE czyli wysokość ostrosłupa ABCDE.

tg\angle ACE=\frac{|AE|}{|AC|}

tg 60^o=\frac{|AE|}{4}

\sqrt{3}=\frac{|AE|}{4}

|AE|=4\sqrt{3}

Graniastosłup ABCDEFGH jest prawidłowy więc czworokąt ABCD jest kwadratem. Zatem.

|AB|=|BC|

Z twierdzenia Pitagorasa:

|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2

|AB|^2+|AB|^2=4^2

2|AB|^2=4^2

|AB|^2=8

|AB|=2\sqrt{2}

Objętość ostrosłupa obliczmy wg wzoru.

V=\frac{1}{3}P_p\cdot |AE|

V=\frac{1}{3}(2\sqrt{2})^2\cdot 4\sqrt{3}

V=\frac{1}{3}8\cdot 4\sqrt{3}

V=\frac{1}{3}32\sqrt{3}

Zadanie nr 60. Dodane przez Arek. 2012-12-06 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Pole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe4. Objętość tego sześcianu jest równa ?

Rozwiązanie nr 61. Dodane przez Maciek. 2012-12-06

Pole ściany szescianu obliczamy ze wzoru:

P=a^2, czyli

a^2=4

a=2

Objętość obliczamy:

V=a^3

czyli

V=2^3=8

Objętość wynosi 8

Zadanie nr 58. Dodane przez Adam. 2012-12-06 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Oblicz kąty trójkąta ABC w którym a=2\sqrt{3},b=3-\sqrt{3},c=3\sqrt{2}

Rozwiązanie nr 59. Dodane przez Maciek. 2012-12-06

Do rozwiązania zadnia skorzystamy z wzorów cosinusów dla trójkąta.

a^2=b^2+c^2-2bc \cdot \cos\alpha

b^2=a^2+c^2-2ac \cdot \cos \beta

c^2=a^2+b^2-2ab \cdot \cos \gamma

Po przekształceniu wzorów otrzymujemy:

-2bc \cdot \cos \alpha=a^2-b^2-c^2

cos\alpha=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}

Odpowiednio obliczamy:

cos\beta=\frac{-b^2+a^2+c^2}{2ac}

cos\gamma=\frac{-c^2+a^2+b^2}{2ab}

Podstawiamy długości boków do wzorów:

cos\alpha=\frac{(3-\sqrt{3})^2+18-12}{6\sqrt{2}\cdot (3-\sqrt{3})}=\frac{18-6\sqrt{3}}{\sqrt{2}(18-6\sqrt{3})}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

czyli \alpha=45^o

cos\beta=\frac{12+18-(3-\sqrt{3})^2}{2\cdot2\sqrt{3}\cdot3\sqrt{2}}=\frac{30-9+6\sqrt{3}-3}{12\sqrt{6}}=\frac{18+6\sqrt{3}}{12\sqrt{6}}=\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}

czyli \beta=15^o

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie wynosi 180, wnioskujemy, że \gamma=120^o

Zadanie nr 56. Dodane przez Jacek. 2012-11-25 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Pole trapezu jest równe 240 cm2, a jego wysokość wynosi 16 cm. Oblicz długości podstaw trapezu, wiedząc, że ich stosuneik wynosi 2 do 3

Rozwiązanie nr 57. Dodane przez Maciek. 2012-11-25

Dane:

P=240 cm^2

h=16 cm

\frac{a}{b}=\frac{2}{3}

Korzystamy z wzoru na pole trapezu:

\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{2}(a+b)\cdot 16=240 \\
\frac{a}{b}=\frac{2}{3}
\end{array}

\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{2}(\frac{2}{3}b+b)\cdot 16=240 \\
a=\frac{2}{3}b
\end{array}

\left\{ \begin{array}{l}
\frac{5}{6}b=15 \\
a=\frac{2}{3}b
\end{array}

\left\{ \begin{array}{l}
b=18 \\
a=12
\end{array}

Zadanie nr 54. Dodane przez Piotrek. 2012-11-19 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Pole równoległoboku wynosi 24cm2 a jego obwód 28 cm. Jedna z wysokości ma 3 cm. Oblicz drugą wysokość.

Rozwiązanie nr 55. Dodane przez Maciek. 2012-11-19

Wzory:

Pole równoległoboku:

P_r=a\cdot h_1=b\cdot h_2

Obwód:

Obw=2a+2b

Dane:

P_r=24cm^2

Obw=28cm

h_1=3cm

Korzystamy z wzorów na pole i obwód równoległoboku.

\left\{ \begin{array}{l}
2a+2b=28 \\
a\cdot 3=24
\end{array}

\left\{ \begin{array}{l}
a=8 \\
b=6
\end{array}

h_2\cdot b=24

h_2=4 cm

Zadanie nr 52. Dodane przez Adam. 2012-11-18 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Punkty A(1,-3), B(2,5), C(-2,-6) są wierzchołkami trójkąta

a) wyznacz długości jego boków

b) wyznacz długości jego środkowych

Rozwiązanie nr 53. Dodane przez Maciek. 2012-11-18

a)

|AB|=\sqrt{(2-1)^2+(5-(-3))^2}

|AB|=\sqrt{65}

|BC|=\sqrt{(-2-2)^2+(-6-5)^2}

|BC|=\sqrt{137}

|AC|=\sqrt{(-2-1)^2+(-6-(-3))^2}

|AC|=3\sqrt{2}

b)

Środkowa trójkąta to odcinek który łczy środek boku trójkąta z przeciwległym wierzchołkiem.

Czyli musimy wyznaczyć środki boków trójkąta ABC.

Niech punkt A_1 będzie środkiem odcinka |BC|.

Gdzie B(x_1,y_1) a C(x_2,y_2). Korzystamy z wzoru.

A_1=\left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right),

Czyli:

A_1\left(\frac{2-2}{2} , \frac{5-6}{2}\right)

A_1=\left( 0, -\frac{1}{2} \right)

Podobnie obliczamy współrzędne B_1 i C_1

B_1\left(-\frac{1}{2} , -4\frac{1}{2} \right)

C_1\left( 1\frac{1}{2} , 1\right)

Teraz możemy policzyć długości środkowych:

|AA_1|=\sqrt{(0-1)^2+(-\frac{1}{2}+3)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{29}

|BB_1|=\sqrt{(-\frac{1}{2}-\frac{4}{2})^2+(-\frac{8}{2}-\frac{10}{2})^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{324}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{349}

|CC_1|=\sqrt{(\frac{3}{2}-(-2))^2+(1-(-6))^2}=\sqrt{\frac{49}{4}+49}=\frac{1}{2}\sqrt{245}

Zadanie nr 49. Dodane przez Marek. 2012-11-08 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

Punkty A=(1;2), B=(4;-3), C=(0,1) są wierzchołkami równoległoboku. Oblicz jego obwód.

Rozwiązanie nr 50. Dodane przez Maciek. 2012-11-08

Obw=2(|AB|+|AC|)

Obw=2 \cdot \left(\sqrt{(4-1)^2+(-2-3)^2}+\sqrt{(0-1)^2+(1-2)^2}\right)

Obw=2(\sqrt{9+25}+\sqrt{1+1})

Obw=2(\sqrt{34}+\sqrt{2})

Zadanie nr 48. Dodane przez Mariusz. 2012-10-30 Dodaj rozwiązanie
Subskrybuj RSS z rozwiązaniami

W trójkącie ABC wysokość poprowadzona z wierzchołka C dzieli bok AB na odcinki o długościach 6 cm i 15 cm.
a) znaleźć długości boków AC i BC trójkąta, jeżeli ich różnica jest równa k (k>0). Zbadać dla jakich wartości k rozwiązanie jest możliwe.
b) znaleźć długość dwusiecznej kąta wewnętrznego C zawartej w trójkącie ABC

Wybierz stronę: « < 1 - 2 - 3 - 4 > »