geometria-3d.pl
Zadania Katalog Programy Artykuły Teoria

Wielościany foremne - platońskie

Aby ustalić czym jest wielościan foremny musimy najpierw podać ogólną definicję wielościanu:

Wielościanem nazywamy sumę pewnej skończonej rodziny czworościanów spełniających następujące warunki:

  • suma czworościanów wyróżnionej rodziny jest zbirem jednokawałkowym - spójnym
  • dwa czworościany z rodziny są albo rozłączne albo mają wspólny wierzchołek albo krawędź albo ścianę
  • jeśli z któregokolwiek czworościanu rodziny usuniemy wierzchołek lub krawędź to suma pozostanie spójna

Teraz jeszcze zastanowimy się co to jest wielościan wypukły:

Wielościanem wypukłym nazywamy ograniczone przecięcie skończonej liczby półprzestrzeni.

I wreszcie zdefiniujemy wielościan foremny:

Wielościan wypukły jest wielościanem foremnym gdy wszystkie jego ściany są wypukłymi przystającymi wielokątami foremnymi oraz w każdym wierzchołku schodzi się jednakowa liczba ścian (krawędzi).

 

Po tym koniecznym lecz trochę nudnawym wstępie możesz zapoznać się z konkretnymi bryłami foremnymi. Mamy do wyboru 5 rodzajów wielościanów platońskich czyli foremnych

Czworościan foremny Sześcian foremny Ośmiościan foremny Dwunastościan foremny Dwudziestościan foremny
Czworościan
foremny
Sześcian
foremny
Ośmiościan
foremny
Dwunastościan
foremny

Dwudziestościan
foremny

Zastanówmy się dlaczego mamy właśnie 5 wielościanów platońskich?

Otóż jest to uwarunkowane tym że bryła foremna jest zbudowana z takich samych wielokątów foremnych. Aby w ogóle powstała bryła to w każdym wierzchołku muszą się schodzić co najmniej 3 ściany, ale jednocześnie suma kątów w wierzchołkach tych ścian musi być mniejsza niż 360 stopni. Jeżeli suma kątów będzie równa lub większa niż 360 stopni to po złożeniu nie uzyskamy bryły.

 

Teraz wystarczy się przyjrzeć kątom poszczególnych wielokątów foremnych:

 

Trójkąt równoboczny Trójkąt równoboczny:
Kąt wewnętrzny wynosi 60 st. więc w jednym wierzchołku mogą się schodzić 3,4 lub 5 trójkątów równobocznych (ponieważ 5*60=300 a 6*60=360) co odpowiada czworościanowi, ośmiościanowi i dwudziestościanowi.

Kwadrat Kwadrat:
Kąt wewnętrzny wynosi 90 st. czyli w jednym wierzchołku mogą się schodzić tylko 3 kwadraty (3*90=270 a 4*90=360) co odpowiada sześcianowi.
Pięciokąt foremny Pięciokąt foremny:
Kąt wewnętrzny wynosi 108 st. czyli w jednym wierzchołku mogą się schodzić 3 pięciokąty foremne (3*108=324 a 4*108=432) co odpowiada dwunastościanowi foremnemu.
Sześciokąt foremny Sześciokąt foremny:
Kąt wewnętrzny wynosi 120 st. Żadna bryła platońska nie może być zbudowana z sześciokątów foremnych (ponieważ 3*120=360).



Kolejne wielokąty foremne (siedmiokąt, ośmiokąt) mają kąty wewnętrzne większe od 120 czyli wielościany foremne nie mogą być z nich zbudowane.